Как решить задание 13 ЕГЭ по профильной математике: все типы задач с примерами
Задание 13 — это первая по-настоящему «взрослая» задача второй части профильного ЕГЭ по математике: здесь мало просто угадать ответ, нужно решить уравнение и грамотно оформить решение. Именно на нём теряют баллы даже сильные ученики — не из-за незнания темы, а из-за пропущенной ОДЗ или потерянного корня. В этой статье разберём все основные типы уравнений, которые встречаются в задании 13, универсальный алгоритм решения, типичные ошибки и чек-лист для повторения перед экзаменом. Все данные приведены по официальной демоверсии ЕГЭ 2026 года — на момент публикации статьи (11 августа 2026 года) демоверсия на 2027 год ещё не опубликована ФИПИ, об этом — отдельный блок ниже.
Оглавление
Что проверяет задание 13 и сколько за него дают баллов
Задание 13 открывает вторую часть экзамена, где вместо краткого ответа нужно привести полное развёрнутое решение с обоснованием. Обычно оно состоит из двух пунктов: а) решить уравнение; б) найти корни, принадлежащие заданному отрезку или промежутку.
Максимальный балл за задание — 2. По данным на 2025/2026 учебный год критерии оценивания таковы: 2 балла — верно решены оба пункта; 1 балл — верно решён только пункт а) (само уравнение), но отбор корней в пункте б) не выполнен или содержит ошибку; 0 баллов — во всех остальных случаях, включая верный ответ без обоснования.
Уровень сложности — повышенный, на решение стоит закладывать около 10–15 минут. Средний процент выполнения по стране колеблется в районе 40–45% — то есть больше половины выпускников недобирают здесь баллы. Точные актуальные цифры по конкретному году уточняйте в статистическом отчёте ФИПИ на fipi.ru.
Какие типы уравнений встречаются в задании 13
Формально задание 13 не привязано к одной теме — формулировка в КИМ звучит обобщённо: «решите уравнение». На практике из года в год повторяются несколько устойчивых типов. Разберём каждый на примере, максимально приближённом к формату ФИПИ.
Тригонометрические уравнения
Самый частый тип. Решаются через замену переменной, формулы приведения или разложение на множители, а отбор корней в пункте б) — через тригонометрический круг или числовую прямую.
Пример из демоверсии ФИПИ
Условие: а) Решите уравнение 2cos²x + 3sinx = 3. б) Найдите корни, принадлежащие отрезку [−2π; −π/2].
Решение: заменим cos²x = 1 − sin²x, получим −2sin²x + 3sinx − 1 = 0, или 2sin²x − 3sinx + 1 = 0. Пусть t = sinx, тогда 2t² − 3t + 1 = 0, откуда t = 1 или t = 0,5.
При sinx = 1: x = π/2 + 2πk.
При sinx = 0,5: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.
Отбор: на отрезке [−2π; −π/2] подходят x = −7π/6 и x = −3π/2. Оба значения проверяются прямой подстановкой k в общие формулы.
Логарифмические уравнения
Ключевая сложность — не забыть об области допустимых значений (ОДЗ): выражения под логарифмом должны быть строго положительны, а основание — положительно и не равно 1.
Пример по теме «Логарифмы»
Условие: решите уравнение log₃(x + 2) + log₃(x − 2) = log₃(5x − 10).
ОДЗ: x + 2 > 0, x − 2 > 0, 5x − 10 > 0 ⟹ x > 2.
По свойству логарифмов: log₃((x+2)(x−2)) = log₃(5x−10) ⟹ x² − 4 = 5x − 10 ⟹ x² − 5x + 6 = 0 ⟹ x = 2 или x = 3.
Ответ: x = 2 не входит в ОДЗ (нужно строгое неравенство x > 2), поэтому единственный корень — x = 3.
Иррациональные уравнения
Главная ловушка — потеря или появление посторонних корней при возведении в степень. Любое решение обязательно нужно проверять подстановкой или через ОДЗ.
Пример по теме «Иррациональные уравнения»
Условие: решите уравнение √(2x + 3) = x.
ОДЗ и условие корня: 2x + 3 ≥ 0 и x ≥ 0 (правая часть — значение корня, оно не может быть отрицательным).
Возведём обе части в квадрат: 2x + 3 = x² ⟹ x² − 2x − 3 = 0 ⟹ x = 3 или x = −1.
Ответ: x = −1 не удовлетворяет условию x ≥ 0, поэтому единственный корень — x = 3.
Показательные уравнения
Решаются через замену переменной (если уравнение сводится к квадратному относительно показательной функции) или приведение к общему основанию.
Короткий пример
Условие: решите уравнение 2^(2x) − 5·2^x + 4 = 0.
Замена t = 2^x (t > 0): t² − 5t + 4 = 0 ⟹ t = 1 или t = 4.
Ответ: 2^x = 1 ⟹ x = 0; 2^x = 4 ⟹ x = 2.
Уравнения с модулем и рациональные уравнения
Встречаются реже, но требуют аккуратного разбиения на случаи по знаку выражения под модулем и обязательной проверки каждого корня в границах своего случая. Рациональные уравнения обычно сводятся к разложению на множители или методу интервалов при наличии знаменателя.
Универсальный алгоритм решения
Независимо от типа уравнения порядок действий почти всегда одинаковый:
- Определи тип уравнения и вспомни, какой метод для него типичен (замена переменной, разложение на множители, приведение к одному основанию и т.д.).
- Выпиши ОДЗ до начала преобразований — это убережёт от лишних корней.
- Реши уравнение выбранным методом, вводя замену переменной там, где это упрощает вид.
- Проверь каждый найденный корень на соответствие ОДЗ.
- Если в задании есть пункт б) — выполни отбор корней на числовой окружности или прямой, подставляя целые значения параметра k.
- Оформи решение полностью: с обоснованием каждого шага, а не только с ответом.
Частые ошибки, которые снижают балл
- Забытая ОДЗ — самая частая причина потери балла в логарифмических и иррациональных уравнениях.
- Потеря корней при делении обеих частей уравнения на выражение с переменной вместо переноса и разложения на множители.
- Ошибки отбора корней в тригонометрии — неверное направление обхода окружности или пропущенный виток.
- Отсутствие проверки после возведения в степень в иррациональных уравнениях.
- Ответ без решения — даже верный ответ без обоснования не засчитывается на 2 балла.
- Арифметические ошибки при решении квадратных уравнений после замены переменной.
Чек-лист перед экзаменом
- Повторил формулы приведения и основные тригонометрические тождества.
- Помню условия ОДЗ для логарифма, корня и дроби наизусть.
- Решил минимум по 3–4 прототипа каждого типа из открытого банка ФИПИ.
- Тренируюсь оформлять полное решение, а не только находить ответ.
- Умею быстро отбирать корни на тригонометрическом круге для отрезков вида [a; b].
- Проверяю каждый корень подстановкой перед тем, как переписать его в чистовик.
Что известно об изменениях в КИМ 2027 года
По данным на 11 августа 2026 года, официальная демоверсия ЕГЭ 2027 года по математике на сайте ФИПИ (fipi.ru) ещё не опубликована. По сложившейся практике проекты КИМ на новый учебный год публикуются в конце августа, проходят общественное обсуждение в сентябре, а утверждённые версии кодификатора, спецификации и демоверсии появляются в ноябре.
Изменений в структуре и содержании профильной математики между 2025 и 2026 годом не было — задание 13 сохранило прежний формат, критерии оценивания и типы задач. Это не гарантия того, что КИМ 2027 года останется без изменений, но говорит о том, что резких перестроек по этому заданию в последние годы не происходило.
Что делать уже сейчас: готовиться по действующей демоверсии 2026 года и открытому банку заданий ФИПИ, а после публикации проекта КИМ 2027 (ориентировочно конец августа — сентябрь) свериться с обновлённой спецификацией на официальном сайте fipi.ru.
Коротко о главном
- Задание 13 даёт до 2 баллов и требует полного развёрнутого решения с обоснованием.
- Основные типы — тригонометрические, логарифмические, иррациональные, показательные уравнения, реже — уравнения с модулем.
- Главные причины потери баллов — забытая ОДЗ, потерянные корни и ошибки отбора.
- Алгоритм один и тот же: тип → ОДЗ → метод решения → проверка → отбор корней → оформление.
- Демоверсия ЕГЭ 2027 года на момент написания статьи ещё не опубликована — ориентируйтесь на демоверсию 2026 года и уточняйте изменения на fipi.ru.
Вопросы и ответы
Сколько баллов можно получить за задание 13?
Максимум 2 первичных балла: 2 — за полностью верное решение обоих пунктов, 1 — если верно решено только уравнение без отбора корней, 0 — в остальных случаях.
Что будет, если я нашёл верный ответ, но не расписал решение?
Такое решение, скорее всего, не будет засчитано на полный балл — эксперты оценивают именно ход решения и его обоснованность, а не только итоговый ответ.
Нужно ли всегда писать ОДЗ, даже если уравнение кажется простым?
Да, если в уравнении есть логарифм, корень или дробь — область допустимых значений нужно выписывать обязательно, это часть полного решения.
Когда появится официальная демоверсия ЕГЭ 2027 по математике?
По практике прошлых лет — проект в конце августа, утверждённая версия в ноябре. Точную дату публикации нужно уточнять на официальном сайте fipi.ru.
Что дальше
Если формулы и отбор корней в тригонометрии до сих пор путаются — почитайте разбор смежного задания 12 (исследование функций через производную): оно тренирует то же умение аккуратно работать с ОДЗ и отбором значений, которое пригодится и в задании 13.
